BİLDİRİ DETAY

Muzaffer AKSOY
GOLDBACH HİPOTEZLERİNİN İSPATI VE UYGULAMA SONUÇLARI
 
Amaç: Bu çalışmanın amacı asal sayılara getirilen yeni bir bakış açısıyla Goldbach Hipotezinin ispatıdır. Metot: Çalışmada, öncelikle Goldbach Hipotezi açıklanmış, asal sayıların ilişkisi ve yeri incelenmiş, gruplamanın yararlı olacağı tespit edilerek adım adım güçlü ve zayıf olarak adlandırılan hipotezler ispat edilmiştir. Araştırmanın getirdiği verilerle yeni bir Asal Sayı Teoremi geliştirilmiş ve ispatıyla birlikte tanıtılmıştır. Bulgular: Sayılar arasındaki ilişkilere farklı bir bakış açısı getirilerek çift sayıların ve devamında tek sayıların asal sayılarla ilişkileri belirlenmiş, teorik bulgular gösterilmiştir. Sonuç: Bu çalışmada Matematik tarihinin uzun süredir ispatlanmamış bir problemi olan Goldbach Hipotezleri adım adım yürütülen bir çalışmayla ispatlanmıştır. Bu çalışma aynı zamanda yeni bir Asal Sayı Teoreminin geliştirilmesine ve ispatıyla birlikte tanıtılmasına vesile olmuştur. GİRİŞ VE TEORİK ÇERÇEVE Alman matematikçi Christian Goldbach, 7 Haziran 1742 de, Leonard Euler’e yazdığı bir mektupta (mektup XLIII) ”2’den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir” önermesinin ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi . Bu problem Güçlü Goldbach Hipotezi ya da Goldbach Hipotezi olarak bilinir ve bugüne kadar çözülememiştir (Goldbach 1742; Dickson 2005, p. 421). Alman mantıkçı ve bilim adamı Leopold Kronecker, Georg Cantor’un sonsuz kümelerle ilgili çalışmasını yüksek sesle eleştirirken, “Tanrı doğal sayıları yaptı, tüm diğerleri insan işidir” diyerek, aritmetik ve analizlerin sadece tamsayılar üzerine kurulması gerektiği görüşünü özetledi (Bell 1986, p. 477) Asal sayılarla ilgili çalışmalar sayı teorisinde önemli bir yer tutar (Apostol, T. M., 1976). Bu araştırmanın konusu olan Goldbach Hipotezleri üzerinde çok çalışmalar yapılmıştır. Hardy’e göre (1999, p. 19), " Aslında Goldbach’ın Teoremi gibi hiç ispatlanamamış ama tahmini çok kolay teoremler olduğu için akıllıca mukayeseli tahminler yapmak kolaydır.” Faber & Faber, Mart 20, 2000 ve Mart 20,2002 arasında Goldbach Hipotezini çözecek kişiye ödül önerdiği halde ödül sahipsiz, hipotez ispatsız kaldı. Schnirelman (1939) her çift sayının, 300.000’den daha az asal sayının toplamı biçiminde yazılabileceğini ispatladı. Pogorzelski (1977) Goldbach Hipotezini ispatladığını iddia etti, genel olarak kabul edilmedi. Shanks (1985) takip eden tabloda Güçlü Goldbach Hipotezinin doğrulandığı sayıların üst sınırını ve referanslarını özetlemektedir. Sınır Referans Desboves 1885 Pipping 1938 Stein and Stein 1965ab Granville et al. 1989 Sinisalo 1993 Deshouillers et al. 1998 Richstein 1999, 2001 Oliveira e Silva (24 Mart 2003) Oliveira e Silva (3 Ekim 2003) Oliveira e Silva (5 Şubat 2005) Oliveira e Silva (30 Aralık 2005) Oliveira e Silva (14 Temmuz 2008) Oliveira e Silva (Nisan 2012) Her tek sayının üç adet asal sayının toplamı olduğunu belirten önerme Zayıf Goldbach Hipotezi olarak bilinir. Vinagradov (1937ab,1954) her yeterince büyük tek sayının üç asal sayının toplamı olduğunu ispat etti. Vinagradov’un orijinal “yeterince büyük “nitelemesini Chen ve Wang (1989) küçülttü. Chen (1973, 1978) keza, yeterince büyük çift sayıların, bir asal ve en fazla iki asalın çarpımının toplamı olduğunu gösterdi (Guy 1994, Courant and Robbins 1996). Ayrıca, “her tek sayı 3 asal sayının toplamıdır” önermesi de Zayıf (ya da Tek) Goldbach Hipotezi olarak bilinir. Bu Zayıf Goldbach Hipotezine 2013’te H.A. Helfgott (Helfgott,2013,1-74), bir çözüm getirdiğini iddia ettiyse de henüz kabul görmüş değildir. Bu araştırma sonucunda her iki hipotezin de ispatı verilmektedir. Bu ispatlardan hareketle, asal sayılar dizinine yeni Asal Sayılar Teoremi geliştirilmiş ve ispatı verilmiştir. Birçok bilinmeze ışık tutacak olan bu araştırmanın ilgili konularda yeni ufuklar açacağına AMAÇ Bu çalışmanın amacı zayıf ve güçlü hipotezler olarak bilinen Goldbach’ın ünlü Hipotezlerine bir ispat getirmektir. Bunlar: Güçlü Hipotez: “İki den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamıdır”. Zayıf (ya da Tek) Hipotez: “Beşten büyük her tek sayı üç asal sayının toplamıdır”. Bugüne kadar bu hipotezlerin çözülememesi onları çok ünlü hale getirdi. Bu hipotezlerin üzerinde çok çalışmalar yapıldı; sadece H.A. Helfgott ’un 2013’te, zayıf hipotez üzerinde henüz kabul görmemiş iddiası dışında genel bir çözüm getirilemedi. Hipotezlerin ispatı sayı teorisinde ve özellikle asal sayılar konusunda yeni ufuklar açacaktır. KAPSAM Goldbach’ın çalışmalarında benimsenen asal sayılarla ilgili bilgiler ve kabullerle Goldbach Hipotezleri ele alındı. Goldbach’ın problem üzerindeki özgün tanımlamalarından hareketle, mektubundaki veriler incelendi, yılların birikimiyle değerlendirilerek adım adım ispatlara ulaşıldı. Hipotezlerin ispatlanmasının getirdiği yeni bakış açısıyla araştırmacıların önündeki tıkanıklık açıldı, bunlardan ilki açıklanan ve ispatı verilen yeni Asal Sayılar Teoremidir. ARAŞTIRMA YÖNTEMİ Öncelikle, asal sayıların kapsamı üzerinde yapılmış çalışmalar ayrıntısıyla incelendi, tıkanıklığın sebebi araştırıldı. Fermat Asalları (Robinson 1954) ve Mersenne Asallarının (1644), geniş asal sayılar kümesinin sadece ince bir dilimini kapsadığı halde araştırmacıların büyük eforunu aldığı saptandı. Asal sayıları belirlemenin yolları araştırılırken rast gele dağılmadığı, yerlerini gene asal bileşenlilerin belirlediği görüldü, gruplamanın yararlı olacağı değerlendirildi. Buradan hareketle Goldbach Hipotezine teorik bir çözüm getirildi. Araştırmanın bütününün de dayandığı bu teorik çerçeve oldukça basit, özlü ve kolay anlaşılabilir bir yöntem sağladı. ARAŞTIRMA PROBLEMİ Euler’e yazılan ünlü mektupta şu kestirimler vardı: “İkiden büyük her çift sayı iki asal sayının toplamıdır”. Bunun yanında “beşten büyük her tek sayı üç asal sayının toplamıdır”. Önceki Goldbach Hipotezi, sonraki Zayıf (Tek) Goldbach Hipotezi olarak bilinir. Her ikisine de bugüne kadar genel kabul görmüş bir ispat yapılamamıştır. ARAŞTIRMANIN DERİN SORUNLARI Goldbach’ın orijinal kestirimleri (REF) üzerinde oldukça çok araştırma yapılmış olabilir. Buna rağmen, tanıtılan kestirimler orijinal kestirimlerin kapsadığı tüm olası farklı varsayımlar içinde boğuluyordu. Hatta, Euler cevabında:” …ispatlayamadığım halde, tümüyle belirli bir teori olarak görüyorum” demiştir. Belki de problemin bugüne kadar çözülememesinin nedeni Kronecker’in dediği gibi: “insanların yaptığındandır!”

Anahtar Kelimeler: Goldbach Hipotezi, Asal Sayılar, Tarihi Hipotez Çözüldü, Aksoy Teoremi



 


Keywords: