Giriş: Elastik çubukların titreşimi literatürde sıkça çalışılmış olan ve halen çalışılmaya da devam eden önemli problemlerden biridir. Problemin inşaat mühendisliği, makine mühendisliği, mekatronik mühendisliği, havacılık ve uzay mühendisliği gibi alanlarda çok önemli uygulamaları bulunmaktadır. Temel titreşim kitaplarının hepsinde üniform çubukların boyuna titreşimlerini inceleyen bir bölüm bulunmaktadır. Analitik çözümler üniform çubuklar için elde edilebilmektedir. Üniform olmayan çubuklar için ise analitik çözümler ancak belirli koşullar altında elde edilebilmektedir. Analitik çözümlerin elde edilemediği durumlarda ise nümerik çözüm elde etme veya varyasyonel yöntemlerle çözümü tahmin etme gibi yaklaşımlara başvurulmaktadır. Kuvvet serisi tekniği yardımıyla analitik çözüm elde etmek de mümkün olmakla birlikte, serinin yakınsaması kullanılacak terim sayısı ile yakından ilişkilidir. Bu tip problemlerde çözüm elde edebilmek için bir başka teknik ise analitik tahmin yöntemlerini kullanmaktır. Bu yaklaşımın getirdiği en önemli avantaj problemin çözümün, problemin tanım alanında analitik bir fonksiyon olarak elde edilmesidir. Yani aslında elde edilen çözüm bir analitik çözümdür. Son yirmi yılda çok sayıda mühendislik probleminin çözümünde başarıyla kullanılan ve halen de kullanılmaya devam eden yöntemlerden bazı önemli görülenler, bu çalışmada tanıtılacak ve örnek uygulamalara yer verilerek önerilen çözüm yöntemlerinin etkinliği test edilecektir. Amaç: Bu araştırma üniform olmayan çubukların boyuna titreşimlerinin bazı analitik tahmin yöntemleri ile incelenmesi amacıyla gerçekleştirilmiştir. Kapsam: Yapılan bu araştırma kapsamında Adomian ayrıştırma yöntemi, homotopi perturbasyon yöntemi ve varyasyonel iterasyon yöntemi kullanılacak, elde edilen çözümler literatürde var olan ve bu çalışma için seçilmiş problemlerin mevcut çözümleri ile karşılaştırılacaktır. Sınırlıklar: Uygulanabilecek analitik tahmin yöntemleri oldukça fazla olmakla birlikte, çalışmada en sık kullanılan ve atıf yapılan yöntemlerden seçilmiş olan üç tanesi kullanılmıştır. Yöntem: Öncelikle üniform olmayan çubuğun titreşimini ifade eden denklem elde edilecek ve üniform olmama durumunun tanımlanabilmesi için kesit alanı değişimi bazı fonksiyonlara bağlı olarak ele alınacaktır. Değişken kesit alanının denklemlerde tanımlanması ile çözülecek denklem elde edilerek, kulanılacak üç yöntem de sırasıyla bu denkleme uygulanarak çözüm süreci formüle edilecektir. En son adımda ise sınır koşullarının uygulanması ile serbest titreşim frekansları ve bu frekanslara ait mod şekilleri türetilecektir. Çözümler sırayla artan mertebelerde değerlendirilerek, hassas bir sonuç elde edebilmek için en az kaçıncı mertebede bir çözüm gerektiği değerlendirilecektir. Bulgular: Yapılan çalışmalar ilk birkaç adımdan sonra tatmin edici sonuçlar elde edilebileceğini göstermiştir. Benzer bir hassasiyetin elde edilebilmesi için kuvvet serileri ile elde edilen çözümde, Adomian ayrıştırma ve homotopi perturbasyon yöntemlerine göre daha fazla sayıda terim kullanmak gerektiği tespit edilmiştir. Yine varyasyonel iterasyon yönteminde gerekli çözümün mertebesi de Adomian ayrıştırma ve homotopi perturbasyon yöntemlerinde elde edilenlerle benzerlik göstermektedir. Elde edilen analitik tahminlerle mod şekilleri de rahatlıkla elde edilebilmektedir. Sonuç: Yapılan araştırmanın neticesinde üniform olmayan çubukların boyuna titreşim problemlerinin çözümünde önerilen analitik tahmin yöntemlerinin başarıyla kullanılabileceği görülmektedir. Elde edilen sonuçlar, litertürde daha önce çözülmüş var olan problemlerin çözümü ile uyum içerisindedir. Dolayısıyla kesit alanının herhangi bir değişimi için boyuna titreşim probleminde analitik çözümün elde edilememesi durumunda, bu çalışmada kullanılmış olan Adomian ayrıştırma yöntemi, homotopi perturbasyon yöntemi ve varyasyonel iterasyon yöntemi ile analitik bir çözüm elde etmek mümkün olabilecektir.Anahtar Kelimeler : Üniform Olmayan Çubuk; Boyuna Titreşim; Analitik Çözüm, Adomian; Homotopi Pertürbasyon; Varyasyonel İterasyon.
Anahtar Kelimeler: Üniform Olmayan Çubuk, Boyuna Titreşim, Analitik Çözüm, Adomian, Homotopi Pertürbasyon, Varyasyonel İterasyon.
|
