Giriþ: Elastik çubuklarýn titreþimi literatürde sýkça çalýþýlmýþ olan ve halen çalýþýlmaya da devam eden önemli problemlerden biridir. Problemin inþaat mühendisliði, makine mühendisliði, mekatronik mühendisliði, havacýlýk ve uzay mühendisliði gibi alanlarda çok önemli uygulamalarý bulunmaktadýr. Temel titreþim kitaplarýnýn hepsinde üniform çubuklarýn boyuna titreþimlerini inceleyen bir bölüm bulunmaktadýr. Analitik çözümler üniform çubuklar için elde edilebilmektedir. Üniform olmayan çubuklar için ise analitik çözümler ancak belirli koþullar altýnda elde edilebilmektedir. Analitik çözümlerin elde edilemediði durumlarda ise nümerik çözüm elde etme veya varyasyonel yöntemlerle çözümü tahmin etme gibi yaklaþýmlara baþvurulmaktadýr. Kuvvet serisi tekniði yardýmýyla analitik çözüm elde etmek de mümkün olmakla birlikte, serinin yakýnsamasý kullanýlacak terim sayýsý ile yakýndan iliþkilidir. Bu tip problemlerde çözüm elde edebilmek için bir baþka teknik ise analitik tahmin yöntemlerini kullanmaktýr. Bu yaklaþýmýn getirdiði en önemli avantaj problemin çözümün, problemin taným alanýnda analitik bir fonksiyon olarak elde edilmesidir. Yani aslýnda elde edilen çözüm bir analitik çözümdür. Son yirmi yýlda çok sayýda mühendislik probleminin çözümünde baþarýyla kullanýlan ve halen de kullanýlmaya devam eden yöntemlerden bazý önemli görülenler, bu çalýþmada tanýtýlacak ve örnek uygulamalara yer verilerek önerilen çözüm yöntemlerinin etkinliði test edilecektir. Amaç: Bu araþtýrma üniform olmayan çubuklarýn boyuna titreþimlerinin bazý analitik tahmin yöntemleri ile incelenmesi amacýyla gerçekleþtirilmiþtir. Kapsam: Yapýlan bu araþtýrma kapsamýnda Adomian ayrýþtýrma yöntemi, homotopi perturbasyon yöntemi ve varyasyonel iterasyon yöntemi kullanýlacak, elde edilen çözümler literatürde var olan ve bu çalýþma için seçilmiþ problemlerin mevcut çözümleri ile karþýlaþtýrýlacaktýr. Sýnýrlýklar: Uygulanabilecek analitik tahmin yöntemleri oldukça fazla olmakla birlikte, çalýþmada en sýk kullanýlan ve atýf yapýlan yöntemlerden seçilmiþ olan üç tanesi kullanýlmýþtýr. Yöntem: Öncelikle üniform olmayan çubuðun titreþimini ifade eden denklem elde edilecek ve üniform olmama durumunun tanýmlanabilmesi için kesit alaný deðiþimi bazý fonksiyonlara baðlý olarak ele alýnacaktýr. Deðiþken kesit alanýnýn denklemlerde tanýmlanmasý ile çözülecek denklem elde edilerek, kulanýlacak üç yöntem de sýrasýyla bu denkleme uygulanarak çözüm süreci formüle edilecektir. En son adýmda ise sýnýr koþullarýnýn uygulanmasý ile serbest titreþim frekanslarý ve bu frekanslara ait mod þekilleri türetilecektir. Çözümler sýrayla artan mertebelerde deðerlendirilerek, hassas bir sonuç elde edebilmek için en az kaçýncý mertebede bir çözüm gerektiði deðerlendirilecektir. Bulgular: Yapýlan çalýþmalar ilk birkaç adýmdan sonra tatmin edici sonuçlar elde edilebileceðini göstermiþtir. Benzer bir hassasiyetin elde edilebilmesi için kuvvet serileri ile elde edilen çözümde, Adomian ayrýþtýrma ve homotopi perturbasyon yöntemlerine göre daha fazla sayýda terim kullanmak gerektiði tespit edilmiþtir. Yine varyasyonel iterasyon yönteminde gerekli çözümün mertebesi de Adomian ayrýþtýrma ve homotopi perturbasyon yöntemlerinde elde edilenlerle benzerlik göstermektedir. Elde edilen analitik tahminlerle mod þekilleri de rahatlýkla elde edilebilmektedir. Sonuç: Yapýlan araþtýrmanýn neticesinde üniform olmayan çubuklarýn boyuna titreþim problemlerinin çözümünde önerilen analitik tahmin yöntemlerinin baþarýyla kullanýlabileceði görülmektedir. Elde edilen sonuçlar, litertürde daha önce çözülmüþ var olan problemlerin çözümü ile uyum içerisindedir. Dolayýsýyla kesit alanýnýn herhangi bir deðiþimi için boyuna titreþim probleminde analitik çözümün elde edilememesi durumunda, bu çalýþmada kullanýlmýþ olan Adomian ayrýþtýrma yöntemi, homotopi perturbasyon yöntemi ve varyasyonel iterasyon yöntemi ile analitik bir çözüm elde etmek mümkün olabilecektir.Anahtar Kelimeler : Üniform Olmayan Çubuk; Boyuna Titreþim; Analitik Çözüm, Adomian; Homotopi Pertürbasyon; Varyasyonel Ýterasyon.
Anahtar Kelimeler: Üniform Olmayan Çubuk, Boyuna Titreþim, Analitik Çözüm, Adomian, Homotopi Pertürbasyon, Varyasyonel Ýterasyon.
|
